Se define como cálculo de probabilidad al conjunto de reglas que permiten determinar si un fenómeno ha de producirse, fundando la suposición en el cálculo, las estadísticas o la teoría. La probabilidad es la parte de las matemáticas que trata de manejar con números la incertidumbre.
El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento ciertamente ocurrirá.
0 ≤ P(A) ≤ 1
y así tenemos que P(A)+ P(A’ )=1
Enfoques
Generalmente se manejan 3 enfoques.
- El enfoque clásico.
- De frecuencia relativa.
- Subjetivo.
ENFOQUE CLÁSICO. Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y y posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A , y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:
Ejemplo 1
Si se tiene en una bombonera 17 bombones rosas y 8 bombones blancos. La probabilidad de sacar un bombón blanco en un intento es.
FRECUENCIA RELATIVA. También llamado enfoque empírico, determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un número de observaciones. En este enfoque no utiliza la suposición previa de aleatoriedad porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación
y recopilación de datos.
Ejemplo 2
Se ha observado que 7 de cada 50 conductores que pasan por una esquina hablan por teléfono celular en la tarde. Si un agente de tránsito se para en esa misma esquina un día cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que multe a una persona por hablar por celular mientras conduce por la tarde?
SUBJETIVO. Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando sólo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.
Ejemplo 3
Hay una probabilidad del 80% de que el año próximo las tasas de interés se mantengan estables.
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo:
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n,b); (n,n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n,n,n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
Eventos, Espacio Muestral.
El uso de conjuntos representados por diagramas de Venn, facilita la compresión del espacio muestral E de los eventos, ya que se puede equiparar con el conjunto universo porque contiene la totalidad de los resultados posibles de un experimento, mientras que los eventos contienen sólo un subconjunto de resultados posibles del experimento. Esto es particularmente útil cuando se efectúan operaciones con eventos.
UNIÓN de Eventos
Sean dos eventos A y B de un mismo experimento aleatorio. Se define como la unión de los eventos de A y B al evento que se realiza cuando se realiza A o B y se representa por A∪B .
Nótese como la unión de los eventos de A y B se relaciona con el operador lógico “o”.
Ejemplo de Unión.
Sean el espacio muestral del los resultados de lanzar un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
y los siguientes eventos:
A = “salir número primo” = {1, 2, 3, 5}
B = ”salir número par mayor a cuatro = {6 }
Obtener AUB .
Solución.
Si se forma el evento AU B , “salir número impar o número primo”. Este evento es:
A U B = {1, 2, 3, 5, 6 }.
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = “sacar par” y B = “sacar múltiplo de 3”. Calcular A ∪ B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A ∪ B = {2, 3, 4, 6}
INTERSECCIÓN de Eventos.
Se define como la intersección de los eventos de A y B al evento que se realiza cuando se realizan A y B simultáneamente y se representa por A∩B. Nótese como la intersección de los eventos A y B se relaciona con el operador lógico “y”.
Ejemplo de Intersección
Sean el espacio muestral del los resultados de lanzar un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
y los siguientes eventos:
A = “salir número primo” = {1, 2, 3,5 }
B = ”salir número par menor a seis” = {2, 4 }
Obtener A∩B .
Solución.
El nuevo conjunto A∩B , este evento sería: A∩B = {2 }
Ejemplo:
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = “sacar par” y B = “sacar múltiplo de 3”. Calcular A ∩ B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A ∩ B = {6}
Diferencia
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.
A − B se lee como “A menos B“.
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = “sacar par” y B = “sacar múltiplo de 3”. Calcular A − B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}
COMPLEMENTO de Eventos.
Se dice que dos eventos son complementarios si A∩B = Ø y A∪B = E . Esto es, si A’ = B y B’ = A.
Ejemplo de Complemento.
Al lanzar una moneda, los eventos A = {águila } y B = {sol } son incompatibles y complementarios, ya que su unión definen el espacio muestral.
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = “sacar par”. Calcular Ã.
A = {2, 4, 6}
à = {1, 3, 5}
