Sistema Masa-Resorte
- m: masa
- y: posición del objeto
- k: constante del Resorte
En la posición de equilibrio tenemos que w=Fr
Considerando la Ley de Hooke:
Fr = -kx
entonces:
w = Fr
w = kd
El resorte se estira una distancia d + y, desde el reposo, si y > -d, entonces:
Fr = k(y + d)
Ahora se aplica la 2da Ley de Newton: Suma de Fzas = masa X aceleración, en este caso:
- w – Fr = ma
- kd – k(y + d) = ma
- kd – ky – kd = ma
- 0 = ma + ky
- ma + ky = 0 **a será la segunda derivada de y
- my” + ky = 0 **obtenemos una ec. de 2do orden
Ejemplo:
my” + ky = 0
Se cuelga un objeto de 1.5kg de un resorte, y se observa un estiramiento de 61cm, hasta el punto de equilibrio.
- ¿cuál es la constante del resorte?
- si se estira el objeto hasta 40cm, abajo del punto de equilibrio y se suelta, ¡cuál es la posición del objeto, 10 segundos después?
- ¿cuál es su velocidad en ese momento?
* El equilibrio se alcanza cuando w = Fr, entonces hay que recordar que el peso(w) = a la masa por la gravedad(mg), mientras que la Fuerza del resorte, se calcula con la ley de Hooke = constante del resorte(k), por la Distancia del estiramiento(y)
w = Fr
mg = ky
1.5kg(9.8m/s2) = k(0.61m) **61cm a metros
1) La fuerza del resorte será de 24 Newton/metro
1.5y ‘ ‘ + 24y =0 **esta ecuación es la que se va a resolver con la transformada de Laplace
2) 27 centímetros arriba del punto de equilibrio
Para el inciso 3), hay que derivar la expresión y=0.4cos(4t):
3) El objeto se mueve hacia arriba a una velocidad de 1.18m/s