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Ecuaciones de Primer y segundo grado(Primera parte)

Igualdad, expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo Valor.

Ecuación, igualdad donde hay cantidades desconocidas llamadas incógnitas, quienes son representadas por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v, Ejemplo:

5x + 2 =17

donde, el valor de x=3, si sustituímos, se verificará la igualdad presentada

5(3) + 2 = 17

17 = 17

Clases

Una Ecuación numérica, es una ecuación que no tiene más letras que la incógnita Ejem.: 4x – 5 =x + 4

Una Ecuación lineal, es una ecuación que además de la incógnita, tiene otras letras que representan cantidades conocidas, como por Ejem:

 3x + 2a = 5b – bx

El GRADO de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación, Ejem:

  •  4x – 6 = 3x – 1 Es una ecuación de Primer grado
  • ax + b =b2x + c Es una ecuación de Primer grado
  • x2 -5x + 6 = 0 es una ecuación de Segundo grado

Las ecuaciones de Primer grado, también se llaman Ecuaciones simples o lineales.

Resolver una ecuación, es hallar sus raíces, o sea, el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.

El álgebra es un método poderoso para resolver problemas. Sin embargo, para poder utilizarlo debes familiarizarte con la traducción de un problema al lenguaje algebraico.

Ejemplo 1:

Para traducir al lenguaje algebraico se tiene el siguiente problema:

Un cable de 42 metros se corta en dos pedazos. Uno de los pedazos es 3 metros más grande que el otro. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los trozos?

  • Lo primero que debes hacer es preguntar cuál es la incógnita?
  • Tenemos dos incógnitas, la longitud del trozo pequeño y la longitud del trozo grande.
  • Si conocieras la longitud del pedazo pequeño, la del grande la obtendrías fácilmente con sólo sumarle 3 metros.
  • Si usamos como incógnita la longitud del trozo pequeño y la llamamos que la longitud del trozo pequeño más la del trozo grande es 42 metros podemos utilizar la ecuación:

x+(x+3)=42

Una vez que el problema ha quedado expresado como ecuación, solo hay que despejar:

x+(x+3)=19

x+x+3=42

2x+3=42

2x=42-3

x=39/2

x=19.5

Ejemplo 2:

Dentro de 3 cajas hay 305 peras, La primera caja contiene 10 peras más que la segunda y 15 menos que la tercera.¿cuántas peras hay en cada caja?

Número de peras en la primera caja+ Número de peras en la segunda caja+ Número de peras en la tercera caja= 305
xx – 10x + 15= 305

La traducción algebraica sería: x+(x-10)+(x+15)=305, que podemos simplificar como: 3x+5=305.

3x+5=305

3x=305-5

x=300/3

Por lo que se tiene, que la Primera caja tiene 100 peras, la Segunda tendría 100-10=90, y la Tercera 100+15=115 peras.


Ejercicios:

  1. La suma de las edades de Juan y Javier es 116, y Javier tiene 34 años menos que Juan.
    1. ¿cuál es la incógnita que usarás?
    2. Hallar ambas edades.
  2. Se desean repartir 592 pesos entre Pedro y Jesús de manera que Pedro reciba 306 más que Jesús.¿cuánto debe recibir cada uno?
  3. Un cable de 393 metros de longitud se corta en dos pedazos. Uno de los pedazos es 15 metros más grande que el otro¿cuál es la longitud de cada uno de los pedazos?
  4. La suma de las edades de Javier y Luis es de 71 años, Javier tiene 5 años menos que Luis. Hallar sus edades.
  5. La suma de las edades de José, Ana y Roberto es 56. Ana tiene 2 veces la edad de José y es 16 años menor que Roberto. Halla las edades de cada uno.
  6. Dos ángulos suman 500° y 6 veces el menor excede en 4° al mayor,
    1. ¿cuál expresión usarías si hubieras usado x como la magnitud del angulo menor?
      1. 6x+(6x+4)=500
      2. x+(6x-4)=500
      3. x+(6x+4)=500
    2. De la opción seleccionada en el inciso anterior, anota su forma simplificada.
    3. Hallar el valor de los ángulos.
  7. Se han comprado 84 animales entre gallinas y conejos, cada gallina costo 58 pesos y cada conejo 40 pesos, si se pagaron $3, 486 pesos en total, ¿cuántas gallinas y cuantos conejos se compraron en total?
    1. si has elegido x como el número de gallinas ¿cuál expresión simboliza correctamente este problema?
      1. 58x+40x=3486
      2. 58x+40(84-x)=3486
      3. 40x+58(84-x)=3486
      4. 58x+40x=84
      5. 58x+40(x-84)=3486
    2. ¿cuál sería la forma simplificada de la opción que seleccionaste?
      1. 98x+3360=3486
      2. 18x+84=3486
      3. 98x+84=3486
      4. 18x+3360=3486

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