Los Números Reales
El conjunto de los números reales se denota con la letra R. Primero que todo recordemos que los naturales, los enteros y los racionales son todos números reales, es decir:
Las propiedades básicas de R:
- P1 a + (b + c) = (a + b) + c para todo a; b; c ∈ R (Ley asociativa para la suma).
- P2 a + b = b + a para todo a; b ∈ R (Ley conmutativa para la suma).
- P3 Existe un elemento de R denotado por 0 tal que a+0 = a para todo a en R (Existencia de elemento neutro para la suma).
- P4 Para cada a ∈ R existe b ∈ R tal que a + b = 0 (Existencia de elemento inverso con respecto a la suma).
- P5 a • (b • c) = (a • b) • c para todo a; b; c en R (Ley asociativa para la multiplicación).
- P6 a • (b + c) = a • b + a • c para todo a; b; c en R (Ley distributiva para la suma y la multiplicación).
- P7 a • b = b • a para todo a; b en R (Ley conmutativa para la multiplicación).
- P8 Existe un elemento de R, que denotamos con 1, tal que 1 ≠ 0 y a •1 = a para todo a ∈ R (Existencia de elemento neutro para la multiplicación).
- P9 (Ley de Tricotomía) Para todo número real a se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
- 1. a = 0.
- 2. a ∈ R+.
- 3. -a ∈ R+
- P10 Si a; b 2 R+, entonces a + b 2 R+.
- P11 Si a; b 2 R+, entonces a ¢ b 2 R+.
- P12 Dado a ∈ R con a ≠ 0, existe un b ∈ R tal que a•b = 1 (Existencia de elemento inverso con respecto a la multiplicación).
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a,b,c,d…
Las Cantidades desconocidas se representan por las ultimas letras del alfabeto: …,u,v,w,x,y,z
La Fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general: A=bxh, A=π*r2, etc
Signos
Signos de Operación
En Álgebra se verifican con las mismas que la Aritmética: Suma(+), Resta(-), Multiplicación(x), División(/), Elevación a Potencias y Extracción de Raíces; el Signo de la elevación a Potencia es el Exponente, número pequeño que es colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada Base se toma como factor, de la siguiente forma:
Signos de Relación
=, se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”.
>, se lee mayor que. Así, x>y se lee “x mayor que y”.
<, que se lee menor que. Así, a<b+c se lee “a menor que b+c”
Signos de Agrupación
Los paréntesis ordinarios ( ), Paréntesis Angular [ ], las Llaves { } y la barra o vínculo —-
Coeficiente
En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor. Ej. en el producto 3a, el factor 3 es coeficiente del factor a, e indica que el factor a se suma tres veces, 3a=a+a+a, éste es un coeficiente numérico. En ab, el factor a es coeficiente de b y se conoce como coeficiente literal.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad, así, b equivale a 1b, abc equivale a 1abc.
Sobre la ley de signos
Ejemplo:
Considere la siguiente ecuación en dos variables x e y:
4x + 5 – y = 4y – x + 5
Por el procedimiento que el lector debe conocer bien, de la igualdad anterior se concluye que
4x + x = 4y + y + 5 – 5:
Por lo tanto
5x = 5y
y en consecuencia
x = y
Potencia
Llamamos potencia de un número al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera. si tenemos:
se lee a elevado a la enésima potencia e indica que a debe tomarse como factor n veces.
En este ejemplo, 4 es la base, 5 el exponente y 1024 la potencia.
Reglas:
- La potencia de un número positivo siempre es positiva
- La potencia de un número negativo será positiva si el exponente es entero y par.
- La potencia de un número negativo será negativa si el exponente entero es impar.
- Multiplicar dos potencias de igual base, eleva dicha base a la potencia que resulte de la suma de los exponentes:
Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 5 veces la edad de A, ¿Qué edad tiene cada uno?
El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. Así 4a es de primer grado, porque el exponente de a, es 1; ab es de segundo grado, porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 1+1=2; el término a2b es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2+1=3; 5a4b3c2 es de noveno grado.
Reducción de términos
Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma, el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo:
- 3a+2a=5a
- -5b-7b=-12b
Regla de Tres Directa
Lucca Pacioli, fraile italiano, escribió en 1497 De divina proportione, cuyo tema central es la Regla de tres. En el siglo XV la regla de tres era también conocida como La regla de oro o la llave del comerciante.
Ejemplo
Una receta de cocina, calculada para 8 personas, señala que debe usar para su preparación ½ kilogramo de jitomate, ¿Cuánto jitomate debe usarse para preparar la misma receta para 20 personas?
Solución:
| Personas | Kilos de Jitomate |
| 8 | ½ |
| 20 | x |
Lo cual se lee como 8 es a ½, como 20 es a x
Vemos que al Aumentar el número de personas, debe Aumentar la cantidad de jitomate(de ahí el nombre de Directa), el resultado se obtiene multiplicando lo que aparece en la diagonal del diagrama y dividiendo entre el dato conocido restante.
El valor de x:
Para preparar esa receta para 20 personas se necesitará 1 kilo y cuarto de jitomate.
Ejemplo
Un asta bandera de 6.8 metros de altura, da una sombra de 2.6 metros. ¿cuál es la altura de un hombre que a la misma hora da una sombra de 0.65m ?
| 6.8 | 2.6 |
| x | 0.65 |
tenemos entonces que al disminuir el tamaño de la sombra, debe disminuir la altura del hombre. y multiplicamos así:
Tenemos entonces:
El hombre tiene una estatura de 1.70 metros
Regla de Tres Inversa
Ejemplo
Se requiere formar un rectángulo cuya base sea 2 y que tenga área igual al área del rectángulo de abajo, cuya base mide 6 y su altura 4.
Solución:
Debemos encontrar la altura del rectángulo.
| Altura | Base |
| 4 | 6 |
| x | 2 |
Observemos que, como la base disminuye, la altura debe aumentar, por lo que una cantidad es inversamente proporcional a la otra. En este caso, en la columna de la base intercambiamos los renglones:
| Altura | Base |
| 4 | 2 |
| x | 6 |
y resolvemos
donde:
La altura del rectangulo es 12, el area del rectangulo es:
2 x 12 = 24
Un turista que va de la ciudad de México al Puerto de Acapulco tarda cuatro horas en el recorrido a una velocidad promedio de 100km/h. ¿Cuánto tardará en el recorrido de regreso manejando a una velocidad promedio de 90km/h?
| Velocidad | Tiempo |
| 100 | 4 |
| 90 | t |
Observemos que mientras la velocidad disminuye, el tiempo debe aumentar, por lo que una cantidad es inversamente proporcional a la otra. Entonces, en la columna de la velocidad intercambiamos los renglones:
| Velocidad | Tiempo |
| 90 | 4 |
| 100 | t |
resolvemos
de donde:
Tardará 4 4/9 de hora. si quieres saber cuanto minutos son 4/9, escribimos:
| Horas | Minutos |
| 1 | 60 |
| 4/9 | x |
tenemos:
80/3 son aproximadamente 26 minutos. A 90 km/h, el turista tardará aproximadamente 4 horas 26 minutos.
Ejercicios
- Un artesano teje en un telar 39 metros en 9 días, ¿cuántos días tardará en tejer 52 metros?
- Un ciempiés puede recorrer 450 metros en un cuarto de hora, ¿Cuántos metros puede recorrer en 80 minutos?
- El cuerpo humano en reposo produce 400 ml de bióxido de carbono en 2 minutos, ¿Qué cantidad de bióxido de carbono produce en 9 minutos?
- Doce empleados pueden terminar un trabajo en 35 días, ¿Cuántos empleados deben contratarse para realizar el mismo trabajo en 28 días?
- Una codorniz recorre cierta distancia en 40 minutos, volando a 90 km/h, ¿Cuánto tardará en recorrer la misma distancia si vuela a 60 km/h?
- Una ballena recorre cierta distancia en 7.5 horas, nadando a una velocidad de 40 km/h, si en 12 horas recorrió la misma distancia, ¿a qué velocidad nadó?