Ejemplos:<\/h3>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/image-19.png\")
<\/figure>\n\n\n\n\n\n\n\nFunciones de dos variables<\/span><\/strong><\/h3>\n\n\n\nLa temperatura T<\/strong> en un punto en la superficie de la Tierra en cualquier momento dado depende de la longitud x<\/strong> y la latitud y<\/strong> del punto. T<\/strong> puede concebirse entonces como una funci\u00f3n de dos variables, x <\/strong>y y,<\/strong> o una funci\u00f3n del par (x, y).<\/strong> Se indica esta dependencia funcional escribiendo T=f(x, y).<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\nEl volumen V<\/strong> de un cilindro circular depende de su radio r<\/strong> y su altura h<\/strong>. De hecho, se sabe que V = \u03c0r2<\/sup>h. Se dice que V<\/strong> es una funci\u00f3n de r<\/strong> y h<\/strong> y se escribe V(r, h) =\u03c0r2<\/sup>h.<\/p>\n\n\n\nDefinici\u00f3n<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n\nUna funci\u00f3n f<\/em> de dos variables<\/strong> es una regla que asigna a cada par ordenado de n\u00fameros reales (x, y<\/strong>) en un conjunto D<\/strong> un n\u00famero real \u00fanico denotado por f (x, y)<\/strong>. El conjunto D<\/strong> es el dominio de<\/strong> f<\/strong> y su rango <\/strong>es el conjunto de valores que f<\/strong> adopta, es decir { f(x,y) | (x,y) \u0404 D }<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/image-11.png\")
<\/a><\/figure><\/div>\n\n\nA menudo se escribe z = f(x, y)<\/strong> para explicitar el valor adoptado por f <\/strong>en el punto general (x, f)<\/strong>. Las variables x y y son variables independientes<\/strong> y z es la variable dependiente.<\/strong><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\nEjemplo 1<\/span> <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nEl \u00edndice de viento-fr\u00edo <\/strong>mide c\u00f3mo se siente el fr\u00edo cuando hay viento, bas\u00e1ndose en un modelo que calcula la rapidez con que un rostro humano pierde calor. El modelo se desarroll\u00f3 mediante pruebas cl\u00ednicas en las que voluntarios se expusieron a varias temperaturas y a velocidades del viento en un t\u00fanel aerodin\u00e1mico refrigerado.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\nEn regiones con clima severo en invierno, el \u00edndice de viento-fr\u00edo<\/strong> suele usarse para describir la aparente severidad del fr\u00edo. Este \u00edndice W<\/strong> es una temperatura subjetiva que depende de la temperatura real T<\/span><\/strong> y la velocidad del viento v<\/span><\/strong>. As\u00ed, W<\/strong> es una funci\u00f3n de T y v, y se puede escribir W = f (T, v)<\/span><\/strong>. La siguiente tabla registra valores de W compilados por el US National Weather Service y el Meteorological Service of Canada.<\/p>\n\n\n\n\u00cdndice de viento-fr\u00edo<\/strong> como funci\u00f3n de temperatura del aire y velocidad del viento<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/image-10.png\")
<\/a><\/figure><\/div>\n\n\nLa tabla muestra que si la temperatura es de \u20135 \u00b0C<\/strong> y la velocidad del viento de 50 km\/h<\/strong>, subjetivamente se sentir\u00e1 fr\u00edo y una temperatura cercana a \u201315 \u00b0C<\/strong>. As\u00ed,<\/p>\n\n\n\nf( -5, 50 ) = -15<\/strong><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\nGr\u00e1ficas<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\nOtra manera de visualizar el comportamiento de una funci\u00f3n de dos variables es considerar su gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n
\nDefinici\u00f3n. <\/strong>Si f <\/strong>es una funci\u00f3n de dos variables con dominio D<\/strong>, la gr\u00e1fica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en R3<\/sup> tales que z=f(x, y) y (x, y) est\u00e9 en D.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\nAs\u00ed como la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n f de una variable<\/strong> es una curva C<\/strong> con ecuaci\u00f3n y = f(x)<\/span>, la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n f de dos variables<\/strong> es una superficie S<\/strong> con ecuaci\u00f3n z = f(x, y)<\/span>. Se puede visualizar la gr\u00e1fica S<\/strong> de f<\/strong> como tendida directamente arriba o abajo de su dominio D en el plano xy, como se muestra a continuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/image-12.png\")
<\/a><\/figure><\/div>\n\n\nEjemplo 2<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\nTrace la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n f (x, y) = 6 – 3x – 2y.<\/p>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n<\/strong>:<\/p>\n\n\n\nLa gr\u00e1fica de f<\/strong> tiene la ecuaci\u00f3n z = 6 – 3x – 2y<\/strong>, o 3x + 2y + z = 6<\/strong>, que representa un plano. Para graficar el plano se determinan primero las intersecciones. Si y = z = 0<\/strong>, en la ecuaci\u00f3n se obtiene x = 2 <\/strong>como la intersecci\u00f3n en x<\/strong>. De igual forma, la intersecci\u00f3n en y <\/strong>es 3 <\/strong>y la intersecci\u00f3n en z<\/strong> es 6<\/strong>. Esto ayuda a trazar la porci\u00f3n de la gr\u00e1fica que reside en el primer octante:<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/image-13.png\")
<\/a><\/figure><\/div>\n\n\nLa funci\u00f3n de este ejemplo anterior es un caso especial de la funci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
f( x,y ) = ax + by + c<\/strong><\/p>\n\n\n\nLa cual se llama Funci\u00f3n Lineal<\/span><\/strong>. La gr\u00e1fica de esa funci\u00f3n tiene la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\nz = ax+ by + c o ax + by – z + c = 0<\/strong><\/p>\n\n\n\nque es un plano. As\u00ed como las funciones lineales de una variable son importantes en el c\u00e1lculo de una variable, se ver\u00e1 que las funciones lineales de dos variables desempe\u00f1an un papel central en el c\u00e1lculo de m\u00faltiples variables.<\/p>\n\n\n\n
Ejemplo 3<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\nTrace la gr\u00e1fica de g(x,y) =![\"\"](\"http:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/image-14.png\")
<\/p>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n<\/strong>:<\/p>\n\n\n\nLa gr\u00e1fica tiene la ecuaci\u00f3n z = . Eleve al cuadrado ambos miembros de esta ecuaci\u00f3n para obtener z2<\/sup> = 9 – x2<\/sup> – y2<\/sup><\/strong>, o x2<\/sup> + y2<\/sup> + z2<\/sup> = 9<\/strong>, la cual se reconoce como una ecuaci\u00f3n de la esfera con centro en el origen y radio 3. Pero como z \u2265 0, la gr\u00e1fica de g es solo la mitad superior de esta esfera:<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/image-15.png\")
<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\nNota<\/strong>. Una esfera entera no puede representarse con una sola funci\u00f3n de x y y, como se vio en el ejemplo anterior, el hemisferio superior de la esfera x2<\/sup> + y2<\/sup> + z2<\/sup> = 9<\/strong>, es representado por la funci\u00f3n <\/p>\n\n\n\ng(x,y)=, <\/p>\n\n\n\n
el hemisferio inferior esta representado por <\/p>\n\n\n\n
h(x,y)= –<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
\n\n\n\nEjemplo 4<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\nDetermine el dominio y el rango y trace la gr\u00e1fica de h(x,y) = 4x2<\/sup> + y2<\/sup>.<\/p>\n\n\n\nSoluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n\n\n\nN\u00f3tese que h(x,y) se define para todos los posibles pares ordenados de n\u00fameros reales(x,y), as\u00ed que el dominio es R2<\/sup><\/span><\/strong>, la totalidad del plano xy. El rango de h es el conjunto (0, \u221e )<\/span><\/strong> de todos los n\u00fameros reales no negativos. N\u00f3tese tambi\u00e9n que x2<\/sup>\u2265 0 y y2<\/sup>\u2265 0, as\u00ed que h(x,y) \u2265 0 para todas las x y y. La gr\u00e1fica de h tiene la ecuaci\u00f3n z = 4x2<\/sup> + y2<\/sup><\/strong>. Las trazas horizontales son elipses y las verticales par\u00e1bolas:<\/p>\n\n\n
<\/figure>\n\n\n\n\n\n\n\nFunciones de dos variables<\/span><\/strong><\/h3>\n\n\n\nLa temperatura T<\/strong> en un punto en la superficie de la Tierra en cualquier momento dado depende de la longitud x<\/strong> y la latitud y<\/strong> del punto. T<\/strong> puede concebirse entonces como una funci\u00f3n de dos variables, x <\/strong>y y,<\/strong> o una funci\u00f3n del par (x, y).<\/strong> Se indica esta dependencia funcional escribiendo T=f(x, y).<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\nEl volumen V<\/strong> de un cilindro circular depende de su radio r<\/strong> y su altura h<\/strong>. De hecho, se sabe que V = \u03c0r2<\/sup>h. Se dice que V<\/strong> es una funci\u00f3n de r<\/strong> y h<\/strong> y se escribe V(r, h) =\u03c0r2<\/sup>h.<\/p>\n\n\n\nDefinici\u00f3n<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n\nUna funci\u00f3n f<\/em> de dos variables<\/strong> es una regla que asigna a cada par ordenado de n\u00fameros reales (x, y<\/strong>) en un conjunto D<\/strong> un n\u00famero real \u00fanico denotado por f (x, y)<\/strong>. El conjunto D<\/strong> es el dominio de<\/strong> f<\/strong> y su rango <\/strong>es el conjunto de valores que f<\/strong> adopta, es decir { f(x,y) | (x,y) \u0404 D }<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<\/a><\/figure><\/div>\n\n\nA menudo se escribe z = f(x, y)<\/strong> para explicitar el valor adoptado por f <\/strong>en el punto general (x, f)<\/strong>. Las variables x y y son variables independientes<\/strong> y z es la variable dependiente.<\/strong><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\nEjemplo 1<\/span> <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nEl \u00edndice de viento-fr\u00edo <\/strong>mide c\u00f3mo se siente el fr\u00edo cuando hay viento, bas\u00e1ndose en un modelo que calcula la rapidez con que un rostro humano pierde calor. El modelo se desarroll\u00f3 mediante pruebas cl\u00ednicas en las que voluntarios se expusieron a varias temperaturas y a velocidades del viento en un t\u00fanel aerodin\u00e1mico refrigerado.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\nEn regiones con clima severo en invierno, el \u00edndice de viento-fr\u00edo<\/strong> suele usarse para describir la aparente severidad del fr\u00edo. Este \u00edndice W<\/strong> es una temperatura subjetiva que depende de la temperatura real T<\/span><\/strong> y la velocidad del viento v<\/span><\/strong>. As\u00ed, W<\/strong> es una funci\u00f3n de T y v, y se puede escribir W = f (T, v)<\/span><\/strong>. La siguiente tabla registra valores de W compilados por el US National Weather Service y el Meteorological Service of Canada.<\/p>\n\n\n\n\u00cdndice de viento-fr\u00edo<\/strong> como funci\u00f3n de temperatura del aire y velocidad del viento<\/p>\n\n\n\n<\/a><\/figure><\/div>\n\n\nLa tabla muestra que si la temperatura es de \u20135 \u00b0C<\/strong> y la velocidad del viento de 50 km\/h<\/strong>, subjetivamente se sentir\u00e1 fr\u00edo y una temperatura cercana a \u201315 \u00b0C<\/strong>. As\u00ed,<\/p>\n\n\n\nf( -5, 50 ) = -15<\/strong><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\nGr\u00e1ficas<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\nOtra manera de visualizar el comportamiento de una funci\u00f3n de dos variables es considerar su gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n
\nDefinici\u00f3n. <\/strong>Si f <\/strong>es una funci\u00f3n de dos variables con dominio D<\/strong>, la gr\u00e1fica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en R3<\/sup> tales que z=f(x, y) y (x, y) est\u00e9 en D.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\nAs\u00ed como la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n f de una variable<\/strong> es una curva C<\/strong> con ecuaci\u00f3n y = f(x)<\/span>, la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n f de dos variables<\/strong> es una superficie S<\/strong> con ecuaci\u00f3n z = f(x, y)<\/span>. Se puede visualizar la gr\u00e1fica S<\/strong> de f<\/strong> como tendida directamente arriba o abajo de su dominio D en el plano xy, como se muestra a continuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<\/a><\/figure><\/div>\n\n\nEjemplo 2<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\nTrace la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n f (x, y) = 6 – 3x – 2y.<\/p>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n<\/strong>:<\/p>\n\n\n\nLa gr\u00e1fica de f<\/strong> tiene la ecuaci\u00f3n z = 6 – 3x – 2y<\/strong>, o 3x + 2y + z = 6<\/strong>, que representa un plano. Para graficar el plano se determinan primero las intersecciones. Si y = z = 0<\/strong>, en la ecuaci\u00f3n se obtiene x = 2 <\/strong>como la intersecci\u00f3n en x<\/strong>. De igual forma, la intersecci\u00f3n en y <\/strong>es 3 <\/strong>y la intersecci\u00f3n en z<\/strong> es 6<\/strong>. Esto ayuda a trazar la porci\u00f3n de la gr\u00e1fica que reside en el primer octante:<\/p>\n\n\n\n<\/a><\/figure><\/div>\n\n\nLa funci\u00f3n de este ejemplo anterior es un caso especial de la funci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
f( x,y ) = ax + by + c<\/strong><\/p>\n\n\n\nLa cual se llama Funci\u00f3n Lineal<\/span><\/strong>. La gr\u00e1fica de esa funci\u00f3n tiene la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\nz = ax+ by + c o ax + by – z + c = 0<\/strong><\/p>\n\n\n\nque es un plano. As\u00ed como las funciones lineales de una variable son importantes en el c\u00e1lculo de una variable, se ver\u00e1 que las funciones lineales de dos variables desempe\u00f1an un papel central en el c\u00e1lculo de m\u00faltiples variables.<\/p>\n\n\n\n
Ejemplo 3<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\nTrace la gr\u00e1fica de g(x,y) =<\/p>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n<\/strong>:<\/p>\n\n\n\nLa gr\u00e1fica tiene la ecuaci\u00f3n z = . Eleve al cuadrado ambos miembros de esta ecuaci\u00f3n para obtener z2<\/sup> = 9 – x2<\/sup> – y2<\/sup><\/strong>, o x2<\/sup> + y2<\/sup> + z2<\/sup> = 9<\/strong>, la cual se reconoce como una ecuaci\u00f3n de la esfera con centro en el origen y radio 3. Pero como z \u2265 0, la gr\u00e1fica de g es solo la mitad superior de esta esfera:<\/p>\n\n\n\n<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\nNota<\/strong>. Una esfera entera no puede representarse con una sola funci\u00f3n de x y y, como se vio en el ejemplo anterior, el hemisferio superior de la esfera x2<\/sup> + y2<\/sup> + z2<\/sup> = 9<\/strong>, es representado por la funci\u00f3n <\/p>\n\n\n\ng(x,y)=, <\/p>\n\n\n\n
el hemisferio inferior esta representado por <\/p>\n\n\n\n
h(x,y)= –<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
\n\n\n\nEjemplo 4<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\nDetermine el dominio y el rango y trace la gr\u00e1fica de h(x,y) = 4x2<\/sup> + y2<\/sup>.<\/p>\n\n\n\nSoluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n\n\n\nN\u00f3tese que h(x,y) se define para todos los posibles pares ordenados de n\u00fameros reales(x,y), as\u00ed que el dominio es R2<\/sup><\/span><\/strong>, la totalidad del plano xy. El rango de h es el conjunto (0, \u221e )<\/span><\/strong> de todos los n\u00fameros reales no negativos. N\u00f3tese tambi\u00e9n que x2<\/sup>\u2265 0 y y2<\/sup>\u2265 0, as\u00ed que h(x,y) \u2265 0 para todas las x y y. La gr\u00e1fica de h tiene la ecuaci\u00f3n z = 4x2<\/sup> + y2<\/sup><\/strong>. Las trazas horizontales son elipses y las verticales par\u00e1bolas:<\/p>\n\n\n
El volumen V<\/strong> de un cilindro circular depende de su radio r<\/strong> y su altura h<\/strong>. De hecho, se sabe que V = \u03c0r2<\/sup>h. Se dice que V<\/strong> es una funci\u00f3n de r<\/strong> y h<\/strong> y se escribe V(r, h) =\u03c0r2<\/sup>h.<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n Una funci\u00f3n f<\/em> de dos variables<\/strong> es una regla que asigna a cada par ordenado de n\u00fameros reales (x, y<\/strong>) en un conjunto D<\/strong> un n\u00famero real \u00fanico denotado por f (x, y)<\/strong>. El conjunto D<\/strong> es el dominio de<\/strong> f<\/strong> y su rango <\/strong>es el conjunto de valores que f<\/strong> adopta, es decir { f(x,y) | (x,y) \u0404 D }<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n A menudo se escribe z = f(x, y)<\/strong> para explicitar el valor adoptado por f <\/strong>en el punto general (x, f)<\/strong>. Las variables x y y son variables independientes<\/strong> y z es la variable dependiente.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Ejemplo 1<\/span> <\/strong><\/p>\n\n\n\n El \u00edndice de viento-fr\u00edo <\/strong>mide c\u00f3mo se siente el fr\u00edo cuando hay viento, bas\u00e1ndose en un modelo que calcula la rapidez con que un rostro humano pierde calor. El modelo se desarroll\u00f3 mediante pruebas cl\u00ednicas en las que voluntarios se expusieron a varias temperaturas y a velocidades del viento en un t\u00fanel aerodin\u00e1mico refrigerado.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n En regiones con clima severo en invierno, el \u00edndice de viento-fr\u00edo<\/strong> suele usarse para describir la aparente severidad del fr\u00edo. Este \u00edndice W<\/strong> es una temperatura subjetiva que depende de la temperatura real T<\/span><\/strong> y la velocidad del viento v<\/span><\/strong>. As\u00ed, W<\/strong> es una funci\u00f3n de T y v, y se puede escribir W = f (T, v)<\/span><\/strong>. La siguiente tabla registra valores de W compilados por el US National Weather Service y el Meteorological Service of Canada.<\/p>\n\n\n\n \u00cdndice de viento-fr\u00edo<\/strong> como funci\u00f3n de temperatura del aire y velocidad del viento<\/p>\n\n\n La tabla muestra que si la temperatura es de \u20135 \u00b0C<\/strong> y la velocidad del viento de 50 km\/h<\/strong>, subjetivamente se sentir\u00e1 fr\u00edo y una temperatura cercana a \u201315 \u00b0C<\/strong>. As\u00ed,<\/p>\n\n\n\n f( -5, 50 ) = -15<\/strong><\/p>\n\n\n\n Gr\u00e1ficas<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n Otra manera de visualizar el comportamiento de una funci\u00f3n de dos variables es considerar su gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n. <\/strong>Si f <\/strong>es una funci\u00f3n de dos variables con dominio D<\/strong>, la gr\u00e1fica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en R3<\/sup> tales que z=f(x, y) y (x, y) est\u00e9 en D.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n As\u00ed como la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n f de una variable<\/strong> es una curva C<\/strong> con ecuaci\u00f3n y = f(x)<\/span>, la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n f de dos variables<\/strong> es una superficie S<\/strong> con ecuaci\u00f3n z = f(x, y)<\/span>. Se puede visualizar la gr\u00e1fica S<\/strong> de f<\/strong> como tendida directamente arriba o abajo de su dominio D en el plano xy, como se muestra a continuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n Ejemplo 2<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n Trace la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n f (x, y) = 6 – 3x – 2y.<\/p>\n\n\n\n Soluci\u00f3n<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n La gr\u00e1fica de f<\/strong> tiene la ecuaci\u00f3n z = 6 – 3x – 2y<\/strong>, o 3x + 2y + z = 6<\/strong>, que representa un plano. Para graficar el plano se determinan primero las intersecciones. Si y = z = 0<\/strong>, en la ecuaci\u00f3n se obtiene x = 2 <\/strong>como la intersecci\u00f3n en x<\/strong>. De igual forma, la intersecci\u00f3n en y <\/strong>es 3 <\/strong>y la intersecci\u00f3n en z<\/strong> es 6<\/strong>. Esto ayuda a trazar la porci\u00f3n de la gr\u00e1fica que reside en el primer octante:<\/p>\n\n\n La funci\u00f3n de este ejemplo anterior es un caso especial de la funci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n f( x,y ) = ax + by + c<\/strong><\/p>\n\n\n\n La cual se llama Funci\u00f3n Lineal<\/span><\/strong>. La gr\u00e1fica de esa funci\u00f3n tiene la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n z = ax+ by + c o ax + by – z + c = 0<\/strong><\/p>\n\n\n\n que es un plano. As\u00ed como las funciones lineales de una variable son importantes en el c\u00e1lculo de una variable, se ver\u00e1 que las funciones lineales de dos variables desempe\u00f1an un papel central en el c\u00e1lculo de m\u00faltiples variables.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo 3<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n Trace la gr\u00e1fica de g(x,y) = Soluci\u00f3n<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n La gr\u00e1fica tiene la ecuaci\u00f3n z = Nota<\/strong>. Una esfera entera no puede representarse con una sola funci\u00f3n de x y y, como se vio en el ejemplo anterior, el hemisferio superior de la esfera x2<\/sup> + y2<\/sup> + z2<\/sup> = 9<\/strong>, es representado por la funci\u00f3n <\/p>\n\n\n\n g(x,y)= el hemisferio inferior esta representado por <\/p>\n\n\n\n h(x,y)= – Ejemplo 4<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n Determine el dominio y el rango y trace la gr\u00e1fica de h(x,y) = 4x2<\/sup> + y2<\/sup>.<\/p>\n\n\n\n Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n\n\n\n N\u00f3tese que h(x,y) se define para todos los posibles pares ordenados de n\u00fameros reales(x,y), as\u00ed que el dominio es R2<\/sup><\/span><\/strong>, la totalidad del plano xy. El rango de h es el conjunto (0, \u221e )<\/span><\/strong> de todos los n\u00fameros reales no negativos. N\u00f3tese tambi\u00e9n que x2<\/sup>\u2265 0 y y2<\/sup>\u2265 0, as\u00ed que h(x,y) \u2265 0 para todas las x y y. La gr\u00e1fica de h tiene la ecuaci\u00f3n z = 4x2<\/sup> + y2<\/sup><\/strong>. Las trazas horizontales son elipses y las verticales par\u00e1bolas:<\/p>\n\n\n\n
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<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n<\/p>\n\n\n\n. Eleve al cuadrado ambos miembros de esta ecuaci\u00f3n para obtener z2<\/sup> = 9 – x2<\/sup> – y2<\/sup><\/strong>, o x2<\/sup> + y2<\/sup> + z2<\/sup> = 9<\/strong>, la cual se reconoce como una ecuaci\u00f3n de la esfera con centro en el origen y radio 3. Pero como z \u2265 0, la gr\u00e1fica de g es solo la mitad superior de esta esfera:<\/p>\n\n\n<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n
, <\/p>\n\n\n\n<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
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