{"id":3986,"date":"2025-02-15T18:21:35","date_gmt":"2025-02-15T18:21:35","guid":{"rendered":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/?p=3986"},"modified":"2025-02-15T22:14:31","modified_gmt":"2025-02-15T22:14:31","slug":"1-limites","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/?p=3986","title":{"rendered":"1. L\u00edmites"},"content":{"rendered":"\n

Podr\u00edamos definir c\u00e1lculo de esta manera:<\/p>\n\n\n

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El concepto de l\u00edmite<\/strong> es primordial para muchos problemas en f\u00edsica, ingenier\u00eda y ciencias sociales. B\u00e1sicamente, la pregunta es \u00e9sta: \u00bfqu\u00e9 le pasa con la funci\u00f3n f(x) cuando x se acerca a alguna constante c?<\/strong> Existen variaciones de este tema, pero la idea b\u00e1sica es la misma en muchas circunstancias.<\/p>\n\n\n\n

Podemos determinar \u00e1reas de rect\u00e1ngulos y tri\u00e1ngulos por medio de f\u00f3rmulas de geometr\u00eda; pero, \u00bfqu\u00e9 hay de regiones con fronteras curvas, como un c\u00edrculo? Arqu\u00edmedes tuvo esta idea hace m\u00e1s de dos mil a\u00f1os. Imagine pol\u00edgonos regulares inscritos en un c\u00edrculo, como se muestra en la siguiente figura:<\/p>\n\n\n

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Arqu\u00edmedes determin\u00f3 el \u00e1rea de un pol\u00edgono regular con n<\/strong> lados, y tomando el pol\u00edgono cada vez con m\u00e1s lados fue capaz de aproximar el \u00e1rea de un c\u00edrculo a cualquier nivel de precisi\u00f3n. En otras palabras, el \u00e1rea del c\u00edrculo es el l\u00edmite de las \u00e1reas de los pol\u00edgonos<\/strong> inscritos cuando n (el n\u00famero de lados del pol\u00edgono) aumenta tanto como se quiera.<\/p>\n\n\n\n

Considere la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n y = f(x),<\/em> para a <= x >= b. Si la gr\u00e1fica es una l\u00ednea recta, la longitud de la curva es f\u00e1cil de determinar mediante la f\u00f3rmula de la distancia. Sin embargo, \u00bfqu\u00e9 sucede si la gr\u00e1fica es curvada? Podemos determinar una gran cantidad de puntos a lo largo de la curva y conectarlos con segmentos de recta, como se muestra en la siguiente figura:<\/p>\n\n\n

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Observe que no est\u00e1 definida en x = 1, \u00bfcuando x se aproxima a 1, f (x) se est\u00e1 aproximando a alg\u00fan n\u00famero espec\u00edfico?<\/p>\n\n\n

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Toda la informaci\u00f3n que hemos reunido parece apuntar a la misma conclusi\u00f3n: f (x) se aproxima a 3 cuando x se aproxima a 1. En s\u00edmbolos matem\u00e1ticos, escribimos:<\/p>\n\n\n

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Esto se lee \u201cel l\u00edmite de (x3<\/sup> – 1) \/ (x-1) cuando x tiende a 1 es 3\u201d.<\/p>\n\n\n\n

Como buenos algebristas (es decir, conociendo c\u00f3mo se factoriza una diferencia de cubos), se tiene:<\/p>\n\n\n

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L\u00edmites laterales<\/h3>\n\n\n\n

Cuando una funci\u00f3n da un salto, entonces el l\u00edmite no existe en los puntos de salto. Para tales funciones, se introduce el concepto de l\u00edmites laterales<\/strong>. El s\u00edmbolo x\u2192c+<\/sup><\/strong><\/mark> significa que x se aproxima a c por la derecha<\/strong>, y x\u2192c–<\/sup><\/strong><\/mark> significa que x se aproxima a c por la izquierda<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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Ejemplos:<\/h3>\n\n\n\n

Ejemplo 1:<\/strong><\/p>\n\n\n

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Ejemplo 2:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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Ejemplo 3:<\/strong><\/p>\n\n\n

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La demostraci\u00f3n del teorema B se obtiene con base en aplicaciones repetidas del teorema A. Observe que el teorema B nos permite encontrar l\u00edmites de funciones polinomiales y racionales con la simple sustituci\u00f3n de c por x en toda la expresi\u00f3n, siempre y cuando el denominador de la funci\u00f3n racional no sea cero en c.<\/p>\n\n\n\n

Ejemplo:<\/p>\n\n\n\n

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