{"id":4105,"date":"2025-03-29T21:54:22","date_gmt":"2025-03-29T21:54:22","guid":{"rendered":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/?p=4105"},"modified":"2025-03-29T21:58:36","modified_gmt":"2025-03-29T21:58:36","slug":"aplicaciones-de-la-derivada","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/?p=4105","title":{"rendered":"Aplicaciones de la derivada."},"content":{"rendered":"\n<h2 class=\"wp-block-heading has-vivid-cyan-blue-color has-text-color has-link-color wp-elements-81f108d85c96c773d1ba3f705260c9e7\">Ejemplo 1: Velocidad de un autom\u00f3vil<\/h2>\n\n\n\n<p>Un autom\u00f3vil se mueve en l\u00ednea recta y su posici\u00f3n (en metros) en funci\u00f3n del tiempo t(en segundos) est\u00e1 dada por: <\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>s(t)=5t<sup>2<\/sup>+3t+2<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-vivid-cyan-blue-color has-text-color has-link-color wp-elements-24d9b5f71d91c6bb9bd159fdbcc9126c\">Pregunta:<\/h3>\n\n\n\n<p>Encuentra la velocidad del autom\u00f3vil en el instante <strong>t=4 segundos<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-vivid-cyan-blue-color has-text-color has-link-color wp-elements-d0b2ccbc4b6d505a39c6304f6bce49cc\">Soluci\u00f3n:<\/h3>\n\n\n\n<p>La <strong>derivada de la posici\u00f3n<\/strong> representa la <strong>velocidad<\/strong>:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"357\" height=\"78\" src=\"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-43.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4106\" srcset=\"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-43.png 357w, https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-43-300x66.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 357px) 100vw, 357px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p>Evaluamos en t=4:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"383\" height=\"38\" src=\"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-44.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4107\" srcset=\"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-44.png 383w, https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-44-300x30.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 383px) 100vw, 383px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>La velocidad en t=4 segundos es <strong>43 m\/s<\/strong>, lo que significa que el autom\u00f3vil se est\u00e1 moviendo a esa rapidez en ese instante.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-luminous-vivid-orange-color has-text-color has-link-color wp-elements-7b51cdd6ec83ede5b90ef4dedf8f4b0c\">Ejemplo 2: Crecimiento de una poblaci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p>El tama\u00f1o de una poblaci\u00f3n de bacterias en un laboratorio est\u00e1 modelado por la funci\u00f3n: <\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>P(t)=500e<sup>0.2t<\/sup><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>donde P(t) es el n\u00famero de bacterias y t el tiempo en horas.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-luminous-vivid-orange-color has-text-color has-link-color wp-elements-3cdf4656afc627cf01e2f028c0b81454\">Pregunta:<\/h3>\n\n\n\n<p>Encuentra la tasa de crecimiento de la poblaci\u00f3n en t=5 horas.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-luminous-vivid-orange-color has-text-color has-link-color wp-elements-76460bc776eb8f08e827b084b2b663fb\">Soluci\u00f3n:<\/h3>\n\n\n\n<p>La <strong>derivada de la poblaci\u00f3n<\/strong> representa la <strong>tasa de crecimiento<\/strong>:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"511\" height=\"51\" src=\"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-45.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4108\" srcset=\"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-45.png 511w, https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-45-300x30.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 511px) 100vw, 511px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>A las <strong>5 horas<\/strong>, la poblaci\u00f3n de bacterias est\u00e1 creciendo a una <strong>tasa de 271.8 bacterias por hora<\/strong>. Esto significa que en ese momento, la cantidad de bacterias est\u00e1 aumentando r\u00e1pidamente.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-vivid-purple-color has-text-color has-link-color wp-elements-b0c9cc064c4e9dc169c7f909dee45b38\">Ejemplo 3: M\u00e1xima ganancia en una empresa \ud83d\udcb0<\/h2>\n\n\n\n<p>Una empresa vende un producto y su funci\u00f3n de ingresos (en miles de d\u00f3lares) en funci\u00f3n del precio x (en d\u00f3lares) es:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>R(x)=\u22122x<sup>2<\/sup>+40x<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-vivid-purple-color has-text-color has-link-color wp-elements-4aec0eaf00b2658ee08f62bc12457c28\">Pregunta:<\/h3>\n\n\n\n<p>Encuentra el precio que maximiza los ingresos.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-vivid-purple-color has-text-color has-link-color wp-elements-cbb7f91a3e31184207943230c4131c0c\">Soluci\u00f3n:<\/h3>\n\n\n\n<p>La <strong>derivada de los ingresos<\/strong> representa la <strong>tasa de cambio de los ingresos con respecto al precio<\/strong>. Buscamos el m\u00e1ximo resolviendo R\u2032(x)=0:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"401\" height=\"63\" src=\"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-46.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4109\" srcset=\"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-46.png 401w, https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/wp-content\/uploads\/2025\/03\/image-46-300x47.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 401px) 100vw, 401px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Igualamos a 0:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>\u22124x+40=0<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>x=10<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>El precio que maximiza los ingresos es <strong>10 d\u00f3lares<\/strong>. Vender el producto a este precio generar\u00e1 la mayor cantidad de ingresos para la empresa.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-vivid-red-color has-text-color has-link-color wp-elements-1b9347b49e600221645efc0340ed19c7\">Ejercicios:<\/h2>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-vivid-red-color has-text-color has-link-color wp-elements-1404d427a4f06c99d43aa42cf2a3e6c6\">Ejemplo 1: Ca\u00edda de un objeto \ud83c\udfc0<\/h2>\n\n\n\n<p>Un objeto es lanzado hacia arriba desde una altura de <strong>80 metros<\/strong> con una velocidad inicial. Su altura en funci\u00f3n del tiempo ttt (en segundos) est\u00e1 dada por:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>h(t)=80+20t\u22125t<sup>2<\/sup><\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-vivid-red-color has-text-color has-link-color wp-elements-e0090dc565a2bc69feebb08e679d6695\">Pregunta:<\/h3>\n\n\n\n<p>\u00bfCu\u00e1l es la velocidad del objeto en el instante t=3 segundos?<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-vivid-red-color has-text-color has-link-color wp-elements-4bf26cb9d7c3b5f2fbf8045691b992c5\">Ejemplo 2: Crecimiento de un \u00e1rbol<\/h2>\n\n\n\n<p>La altura de un \u00e1rbol (en metros) despu\u00e9s de ttt a\u00f1os est\u00e1 dada por la funci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>H(t)=3t<sup>2<\/sup>+2t+1<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-vivid-red-color has-text-color has-link-color wp-elements-e0090dc565a2bc69feebb08e679d6695\">Pregunta:<\/h3>\n\n\n\n<p>\u00bfCu\u00e1l es la tasa de crecimiento del \u00e1rbol a los 5 a\u00f1os?<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-vivid-red-color has-text-color has-link-color wp-elements-ea0320120a0492bcd33cf8e690828261\">Ejemplo 3: Maximizaci\u00f3n de producci\u00f3n en una f\u00e1brica<\/h2>\n\n\n\n<p>Una f\u00e1brica produce un art\u00edculo y su productividad (en unidades producidas por hora) depende del n\u00famero de trabajadores xxx seg\u00fan la funci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>P(x)=\u2212x<sup>2<\/sup>+10x<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-vivid-red-color has-text-color has-link-color wp-elements-e0090dc565a2bc69feebb08e679d6695\">Pregunta:<\/h3>\n\n\n\n<p>\u00bfCu\u00e1ntos trabajadores deben contratarse para maximizar la producci\u00f3n?<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-white-color has-black-background-color has-text-color has-background has-link-color wp-elements-d0234f30952e305f858a39b5d4f263d7\">INSTRUCCIONES:<\/h3>\n\n\n\n<p>Resolver y enviar desarrollo e interpretacion de los resultados al correo <strong><mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\">lsaucedoh@utrng.edu.mx<\/mark><\/strong> , agregando sus datos(nombre y grupo)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ejemplo 1: Velocidad de un autom\u00f3vil Un autom\u00f3vil se mueve en l\u00ednea recta y su posici\u00f3n (en metros) en funci\u00f3n del tiempo t(en segundos) est\u00e1 dada por: s(t)=5t2+3t+2 Pregunta: Encuentra la velocidad del autom\u00f3vil en el instante t=4 segundos. 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