{"id":4254,"date":"2025-07-12T19:25:31","date_gmt":"2025-07-12T19:25:31","guid":{"rendered":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/?p=4254"},"modified":"2025-07-13T00:15:56","modified_gmt":"2025-07-13T00:15:56","slug":"planos-y-superficies","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/?p=4254","title":{"rendered":"Planos y superficies"},"content":{"rendered":"\n

Superficies cu\u00e1dricas<\/h3>\n\n\n\n

Hemos aprendido sobre las superficies en tres dimensiones descritas por ecuaciones de primer orden; estas son planos<\/mark><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Otros tipos comunes de superficies pueden describirse mediante ecuaciones de segundo orden. Podemos ver estas superficies como extensiones tridimensionales de las secciones c\u00f3nicas: la elipse, la par\u00e1bola y la hip\u00e9rbola. A estos gr\u00e1ficos los llamamos superficies cu\u00e1dricas.<\/mark><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Definici\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n

Las superficies cu\u00e1dricas<\/strong> son los gr\u00e1ficos de las ecuaciones que pueden expresarse en la forma:<\/p>\n\n\n\n

Ax2<\/sup>+By2<\/sup>+Cz2<\/sup>+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Jz+K=0<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Cuando una superficie cu\u00e1drica interseca un plano de coordenadas, la traza es una secci\u00f3n c\u00f3nica.<\/p>\n\n\n\n

Un elipsoide<\/strong> es una superficie descrita por una ecuaci\u00f3n de la forma \"\". Establezca x=0 para ver la traza del elipsoide en el plano yz<\/em>. Para hallar las trazas en los planos xy<\/em> y xz<\/em>, establezca z=0 y y=0, respectivamente. Observe que, si a=b, la traza en el plano xy<\/em> es un c\u00edrculo. Del mismo modo, si a=c, la traza en el plano xz<\/em> es un c\u00edrculo y, si b=c, entonces la traza en el plano yz<\/em> es un c\u00edrculo. Una esfera, entonces, es un elipsoide con a=b=c.<\/p>\n\n\n\n

Ejemplo:<\/h3>\n\n\n\n

Dibujar el elipsoide:<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/strong>: Empiece por dibujar las trazas. Para hallar la traza en el plano xy<\/em>, establezca z=0:\"\". Para hallar las otras trazas, primero establezca y=0 y luego establezca x=0.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n

\n
\"\"
(a)<\/strong> Este gr\u00e1fico representa la traza de la ecuaci\u00f3n \"\" en el plano xy<\/em>, cuando establecemos z=0. (b)<\/strong> Cuando establecemos y=0, obtenemos la traza del elipsoide en el plano xz<\/em>, que es una elipse. (c)<\/strong> Cuando establecemos x=0, obtenemos la traza del elipsoide en el plano yz<\/em>, que tambi\u00e9n es una elipse.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

Ahora que sabemos qu\u00e9 aspecto tienen las trazas de este s\u00f3lido, podemos dibujar la superficie en tres dimensiones:<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La traza de un elipsoide es una elipse en cada uno de los planos de coordenadas. Sin embargo, no es necesario que esto sea as\u00ed para todas las superficies cu\u00e1dricas. Muchas superficies cu\u00e1dricas tienen trazas que son diferentes tipos de secciones c\u00f3nicas, y esto se suele indicar con el nombre de la superficie. Por ejemplo, si una superficie se puede describir por una ecuaci\u00f3n de la forma \"\"entonces llamamos a esa superficie un paraboloide el\u00edptico<\/strong>. La traza en el plano xy<\/em> es una elipse, pero las trazas en el plano xz<\/em> y en el plano yz<\/em> son par\u00e1bolas. Otros paraboloides el\u00edpticos pueden tener otras orientaciones simplemente intercambiando las variables para darnos una variable diferente en el t\u00e9rmino lineal de la ecuaci\u00f3n \"\" o \"\"<\/p>\n\n\n

\n
\"\"
Esta superficie cu\u00e1drica se llama paraboloide el\u00edptico<\/strong><\/em>.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Superficies cu\u00e1dricas Hemos aprendido sobre las superficies en tres dimensiones descritas por ecuaciones de primer orden; estas son planos. Otros tipos comunes de superficies pueden describirse mediante ecuaciones de segundo orden. Podemos ver estas superficies como extensiones tridimensionales de las secciones c\u00f3nicas: la elipse, la par\u00e1bola y la hip\u00e9rbola. A estos gr\u00e1ficos los llamamos superficies … Seguir leyendo →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0,"footnotes":""},"categories":[100],"tags":[],"class_list":["post-4254","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matepainge-it-1erparc"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4254","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4254"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4254\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4283,"href":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4254\/revisions\/4283"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4254"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4254"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/lash.utrng.edu.mx\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4254"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}