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Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso. Eventos mutuamente excluyentes.

Si A1, A2, … , Anson:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 ∪ A 2 ∪… ∪ A n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

Para calcular la probabilidad tal como la definió Bayes en este tipo de sucesos, necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como:


Donde B es el suceso sobre el que tenemos información previa y A(n) son los distintos sucesos condicionados. En la parte del numerador tenemos la probabilidad condicionada, y en la parte de abajo la probabilidad total. En cualquier caso, aunque la fórmula parezca un poco abstracta, es muy sencilla

o



Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.
Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.
Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

Ejemplo 1

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Ejemplo 2

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

  • I = Producirse incidente.
  • A = Sonar la alarma.

Ejemplo 3

Se ha desarrollado un procedimiento para detectar un tipo particular de
artritis en individuos de alrededor de cincuenta años de edad. A partir de una investigación realizada a nivel nacional, se sabe que, aproximadamente, el 10 % de los individuos de esta edad sufre esta forma de artritis. Se aplica el procedimiento propuesto a individuos con enfermedad artrítica confirmada, y su resultado es correcto en el 85 % de los casos. Cuando el procedimiento se pone a prueba con individuos de la misma edad que, se sabe, están libres de la enfermedad, se obtiene un coeficiente de falsos positivos del 4%.

En el árbol, vemos que P[D y T+] = 0.085. El suceso T+ se representa mediante las trayectorias 1 y 3, y, por lo tanto, P[T+] = 0.085 + 0.036 = 0.121. Mediante sustitución obtendremos

Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos


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