Conceptos de Funciones
1. Variable
- Variable Independiente: Es la variable que se manipula o se elige libremente en una función. Generalmente, se representa por la letra x.
- Variable Dependiente: Es la variable que depende de la variable independiente. Su valor se determina a partir de la función aplicada a la variable independiente. Generalmente, se representa por la letra y o f(x).
2. Constante
Es un valor fijo que no cambia. En una función, una constante puede aparecer como un término independiente (por ejemplo, en f(x) = 2x + 3, el 3 es una constante).
3. Función
Es una relación entre un conjunto de entrada (dominio) y un conjunto de salida (rango) donde cada elemento del dominio está relacionado con un único elemento del rango. Se denota comúnmente como f(x).
4. Dominio y Rango
- Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de la variable independiente (x) para los cuales la función está definida.
- Rango: Es el conjunto de todos los posibles valores de la variable dependiente (y) que la función puede tomar.
5. Funciones Explícitas e Implícitas
- Función Explícita: Es una función donde la variable dependiente está expresada claramente en términos de la variable independiente, por ejemplo, y = f(x).
- Función Implícita: Es una función donde la relación entre las variables no está resuelta en términos de una sola variable, por ejemplo, x² + y² = 1.
6. Notación de Intervalos
- Intervalos Abiertos: No incluyen los extremos del intervalo. Se denotan como (a, b).
- Intervalos Cerrados: Incluyen los extremos del intervalo. Se denotan como [a, b].
- Intervalos Semiabiertos/Semicerrados: Incluyen solo uno de los extremos. Se denotan como [a, b) o (a, b].
Representaciones de una Función
- Verbal: Se describe en palabras cómo se relacionan las variables. Ejemplo: “La función suma 3 a cualquier número dado.”
- Algebraica: Se expresa con una ecuación matemática. Ejemplo: f(x) = x + 3.
- Explícita: Se muestra de forma que la variable dependiente está aislada. Ejemplo: y = 2x + 1.
- Implícita: La relación entre las variables no está aislada. Ejemplo: x² + y² = 25.
- Tabular: Se presenta en una tabla que muestra los valores de entrada (x) y los correspondientes valores de salida (y).
- Gráfica: Se representa visualmente en un sistema de coordenadas cartesianas, donde el eje horizontal representa la variable independiente y el eje vertical la dependiente.
Tipos de Funciones Algebraicas
- Constante: Una función que siempre da el mismo valor sin importar el valor de la variable independiente. Ejemplo: f(x) = 5.
- Lineal: Una función cuya gráfica es una línea recta. Ejemplo: f(x) = 2x + 3.
- Cuadrática: Una función de segundo grado cuya gráfica es una parábola. Ejemplo: f(x) = x² – 4x + 4.
- Cúbica: Una función de tercer grado. Ejemplo: f(x) = x³ – 3x² + 2.
- Polinomial: Una función que es una suma de términos de la forma axⁿ, donde n es un número entero no negativo. Ejemplo: f(x) = x⁴ – 3x³ + x – 5.
- Racional: Una función que es el cociente de dos polinomios. Ejemplo: f(x) = 1/(x-2).
- Valor Absoluto: Una función que toma el valor absoluto de la variable independiente. Ejemplo: f(x) = |x|.
- Radical: Una función que involucra una raíz. Ejemplo: f(x) = √x.
Funciones Trascendentes
- Exponenciales: Funciones en las que la variable independiente aparece como exponente. Ejemplo: f(x) = e^x.
- Logarítmicas: La inversa de las funciones exponenciales. Ejemplo: f(x) = log(x).
- Trigonométricas: Funciones basadas en relaciones trigonométricas como seno, coseno y tangente. Ejemplo: f(x) = sin(x).